菲利克斯·克莱因(Felix Christian Klein,或克莱茵) (1849年4月25日– 1925年6月22日)是德国数学家。
克莱因生于德国Düsseldorf。他在爱尔兰根慕尼黑,莱比锡当过教授,最后到了哥廷根,教授数学。他的主要课题是非欧几何、群论和函数论。他的将各种几何用它们的基础对称群来分类的爱尔兰根纲领的发布影响深远:是当时很多数学的一个综合。
他死于哥廷根。
- posted on 02/12/2009
克莱因瓶
三维空间中的克莱因瓶数学领域中,克莱因瓶(Klein bottle)是指一种无定向性的平面,比如2维平面,就没有“内部”和“外部”之分。克莱因瓶最初的概念提出是由德国数学家菲利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。
克莱因瓶的结构非常简单,一个瓶子底部有一个洞,现在延长瓶子的颈部,并且扭曲地进入瓶子内部,然后和底部的洞相连接。
和我们平时用来喝水的杯子不一样,这个物体没有“边”,它的表面不会终结。它也不类似于气球 ,一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面(所以说它没有内外部之分)。
“克莱因瓶”这个名字的翻译其实是有些错误的,因为最初用德语命名时候名字中“Fläche”是表面的意思。大概是误写为了“Flasche”,这个词才是瓶子的意思。不过不要紧,“瓶子”这个词用起来也非常合适。
性质
从拓扑学角度上看,克莱因瓶可以定义为矩阵[0,1] × [0,1],边定义为 (0,y) ~ (1,y) 条件 0 ≤ y ≤ 1 和 (x,0) ~ (1-x,1) 条件 0 ≤ x ≤ 1
可以用图表示为
----> ^ ^
| |
<----
就像莫比乌斯带一样,克莱因瓶是不可定向的。但是与之不同的是,克莱因瓶是一个闭合的曲面,也就是说它没有边界。莫比乌斯带可以嵌入到3维或更高维的欧几里德空间,克莱因瓶只能嵌入到于四维或更高维空间。
结构
我们可以说一个球有两个面--外面和内面,如果一只蚂蚁在一个球的外表面上爬行,那么如果它不在球面上咬一个洞,就无法爬到内表面上去。轮胎面也是一样,有内外表面之分。但是克莱因瓶却不同,我们很容易想象,一只爬在"瓶外"的蚂蚁,可以轻松地通过瓶颈而爬到"瓶内"去--事实上克莱因瓶并无内外之分!在数学上,我们称克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流型,而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型。
如果我们观察克莱因瓶的图片,有一点似乎令人困惑--克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的,换句话说,瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。但是事实却非如此。事实是:克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面,如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中,我们只好将就点,只好把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上,克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的,并不穿过瓶壁。这是怎么回事呢?
我们用扭节来打比方。看底下这个图形,如果我们把它看作平面 上的曲线的话,那么它似乎自身相交,再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白,这个图形其实是三维空间中的曲线,它并不和自己相交,而且是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样,但是如果有第三维的话,它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上时,只好将就一点,把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样,这是一个事实上处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中,即使是最高明的能工巧匠,也不得不把它做成自身相交的模样;就好象最高明的画家,在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。题图就是一个用玻璃吹制的克莱因瓶。
大家大概都知道莫比乌斯带。你可以把一条纸带的一段扭180度,再和另一端粘起来来得到一条莫比乌斯带的模型。这也是一个只有一 莫比乌斯带个面的曲面,但是和球面、轮胎面和克莱因瓶不同的是,它有边(注意,它只有一条边)。如果我们把两条莫比乌斯带沿着它们唯一的边粘合起来,你就得到了一个克莱因瓶(当然不要忘了,我们必须在四维空间中才能真正有可能完成这个粘合,否则的话就不得不把纸撕破一点)。同样地,如果把一个克莱因瓶适当地剪开来,我们就能得到两条莫比乌斯带 除了我们上面看到的克莱因瓶的模样,还有一种不太为人所知的"8字形"克莱因瓶。它看起来和上面的曲面完全不同,但是在四维空间中它们其实就是同一个曲面--克莱因瓶。
- posted on 02/12/2009
克莱因四元群
数学上,克莱因(Klein)四元群,得名自菲利克斯·克莱因,是最小的非循环群。它有4个元素,除单位元外其阶均为2。
克莱因四元群通常以V表示(来自德文的四元群Vierergruppe)。它是阿贝尔群,同构于,就是2阶的循环群与自身的直积。它也同构于4阶的二面体群。
若把克莱因四元群记作V = { 0, e, f, g },其运算为加法"+",那么以下为其运算表:
+ 0 e f g
0 0 e f g
e e 0 g f
f f g 0 e
g g f e 0
这运算是对合的:∀ x ∈ V , x + x = 0。
克莱因四元群可扩展为有限域,称为克莱因域,加入乘法为第二个运算,以0为零元,e为单位元。乘法与加法符合分配律。乘法表为:
x 0 e f g
0 0 0 0 0
e 0 e f g
f 0 f g e
g 0 g e f
克莱因四元群是下图的图自同构群。
克莱因四元群3个阶2的元之间的对称性,可以从它在4点上的置换表示看出:
V = < (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) >
在这表示中,V是交错群A4的正规子群,也是4个字母上的对称群S4的正规子群。根据伽罗瓦理论,克莱因四元群的存在,而且还具有这特别的表示,解释了四次方程可以用根式求解的原因。
Please paste HTML code and press Enter.
(c) 2010 Maya Chilam Foundation